Binomial Heap Note

2016-08-08 23:10:00

本篇文章轉載於 Binomial Heap - HWCHIU'S BLOG

Introduction

Binaomial Tree

Binomial Heap是由一群 Binomail Tree所組成的
Binomial Tree(BT)含有下列特性:

高度為k的 BT共有2^k個node
高度為k的 BT共有2^k個node

Binomial Heap

是 mergable heap
由一群 Binomial Tree組成，每個BT都滿足 min-heap的性質
對於高度為k的BT只能存在最多一棵
以二進位來看待的話，第K位就代表是否存在高度為K的BT

以下圖為例，就是11001 (右邊最小)

因此任何數量的結點都可以用不同的BT給組合出來

Implement

採用Left-Child Right-sibling的方式來實現，左邊指向child,右邊指向同輩
value: node的值
degree: 以此node為root的BT的高度
parent: 指向其parent

class Node{
public:
Node parent;
Node child;
Node* sibling;
int value;
int degree;
Node(){
parent = NULL;
child = NULL;
sibling = NULL;
value = 0;
degree = 0;
}
};

Function

getMin
size
Travese (postorder)
mergeHeap
Insert
deleteMin

getMin

由於每個BT本身都已經是min-heap的特性了，因此只要針對每個BT的root比較其值即可

int getMin(){
Node* x = head;
int min = INT_MAX;
while(x!=NULL){
if(x->value value;
x = x->sibling;
}
return min;
}

size

由於 Binomial Heap內都是由 Binomial Tree組成，所以可以由每個BT的degree得到其node數量
再把所有加總即可。

int size(){    Node* tmp = head;    int count=0;    while(tmp){        count+= (1degree);  // 2^degree     tmp = tmp->sibling;    }    return count;}

Postorder

這邊是每個BT都要獨立跑一次Postorder的結果，所以在遞迴的過程中要對root做一些控制

//對每一棵BT都跑一次postorder
void postorder(){
Node* tmp = head;
while(tmp){
_postorder(tmp);
tmp = tmp->sibling;
}
printf("\n");
}

//用parent判斷是不是root,避免root跑去呼叫到別的BT
void _postorder(Node* node){
if(!node)
return;
_postorder(node->child);
if(node->parent)
_postorder(node->sibling);
printf("%d ",node->value);
}

MergeHeap

要合併兩個 Binomial Heap

先把兩個 Binomail Heap的 BT list給重新串接起來，以degree為key做sorting.
再根據這個新的BT list開始進行一系列的合併
如果只有兩個高度相同的BT，就直接合併
如果有三個高度相同的BT，就把後面兩棵合併(維持sorting)

void MergeHeap(BinomialHeap &bh){

mergeHeap(bh);  //先把BT list給重新串接起來

Node prev = NULL;
Node x = head;
Node* next = x->sibling;
while(next){
if( (x->degree != next->degree) || next->sibling && next->sibling->degree == x->degree){
prev = x; //前後兩棵BT的高度不同或是後面三棵BT的高度都相同
x = next; //那就把指標往前移動，下次再合併
}
else if( x->value value){ //前面BT的值比較小，所以後面的合併進來
x->sibling = next->sibling;
mergeTree(next,x);
}
else{ //前面那棵BT的值比較大，要往後合併，視情況也要更新 head指標
if(!prev){
head = next; //更新head 指標
}
else{
prev->sibling = next;
}
mergeTree(x,next); //合併
x = next;
}
next = next->sibling;
}
}
要把兩個 Binomial Heap的BT list給重新串接起來，採用merge sort的方法

使用 newHead紀錄合併後的頭
使用 newCurr來紀錄每次合併後的尾

void mergeHeap(BinomialHeap &bh){
Node head2 = bh.head;
Node head1 = head;

Node* newHead, *newCurr;if(!head1){            //如果本身是空的，就不需要合併，直接指向對方即可 head = head2;    return ;}

else if(!head2){ //對方是空的，也不需要合併
return ;
}

//先行尋找誰的開頭比較小，當做新串列的頭

if(head1->degree > head2->degree){
newHead = newCurr = head2;
head2 = head2->sibling;
}
else {
newHead = newCurr = head1;
head1 = head1->sibling;
}

while(head1 && head2){    if(head1->degree degree){        newCurr->sibling = head1;        newCurr = head1;        head1 = head1->sibling;    }    else {        newCurr->sibling = head2;        newCurr = head2;        head2 = head2->sibling;    }}while(head1){    newCurr->sibling = head1;    newCurr = head1;    head1 = head1->sibling;}while(head2){    newCurr->sibling = head2;    newCurr = head2;    head2 = head2->sibling;}head = newHead;

}
合併兩個 Binomial Tree，由於我們是min-heap的特性，所以當兩棵高度相等的BT要合併時，根據root的值來決定誰是合併後的root.

假設已經知道BT(y)的值比BT(z)還要大，所以BT(z)會是合併後的root

y的parent指到z
y的sibling 指到 z本來的child
z的child 指到y
z的degree 加一

void mergeTree(Node y,Node z){
y->parent = z;
y->sibling = z->child;
z->child = y;
z->degree++;
}

Insert

要插入一個新的元素，就是創見一個新的 Binomial Heap，然後跟原本的Heap執行合併即可

void insert(int value){
BinomialHeap bh;
bh.head = new Node();
bh.head->value = value;
MergeHeap(bh);
}

Delete

要從 BinomialHeap中刪除當前最小元素

先找到最小元素所在的那棵BT
把該BT從list裡面拔除
把該BT的children給反向排序(degree為key)
在跟原本的BT list合併

void deleteMin(){
int min = head->value;
Node tmp = head;
Node minPre = NULL;
Node* minCurr = head;
// 找到最小的node位於何處，由於要將該BT給拔除，所以必須要記得該BT前面那棵BT
// 如果最小棵的是第一棵，那也要一併更新 head 指標
while(tmp->sibling){
if(tmp->sibling->value sibling->value;
minPre = tmp;
minCurr = tmp->sibling;
}
tmp = tmp->sibling;
}
if(!minPre && minCurr) //最小棵是第一個
head = minCurr->sibling;
else if(minPre && minCurr)
minPre->sibling = minCurr->sibling;

//H' Make-BINOMIAL-HEAP()

Node *pre,*curr;//用三個指標反轉一個 single link list

pre = tmp = NULL;
curr = minCurr->child;
while(curr){
tmp = curr->sibling;
curr->sibling = pre;
curr->parent = NULL;
pre = curr;
curr = tmp;
}
//創建一棵新的binomial heap,並且讓他的head 指向反轉後的BT list
BinomialHeap bh ;
bh.head = pre;
//再度合併
MergeHeap(bh);

}