广告系列：拍卖所采用的机制设计

拍卖是卖方将物品通过一种机制有偿分配给买方的活动，总的目标有两个：

• 卖家获得期望收益
• 对社会产生影响（拍卖是否有效）

当拍卖品无论如何都可以被分配给估值最高的买家时，我们说这种拍卖是有效的。在一次拍卖中，买家对拍卖品价值的估计称为估价（用  表示），买家对拍卖品的出价称为报价（用  表示）。为方便分析我们作出以下假设：

一个不可分割的单品拍卖，潜在买家数量为，买家对物品的估价为（假设买家知道拍卖品对自己的价值，不受其他买家影响，称为私有价值），报价为  ，卖家不知道买家的真实估值，但知道买家估价的累计分布函数,及连续密度函数，相互独立，假设的范围，。

拍卖机制主要包含（  ）两部分：

• 代表配置规则，决定了买家获得物品的概率 ；
• 代表支付规则，决定了买家的期望支付，则买家的效用（消费者剩余）为

此时每一种机制定义了买卖方之间的一种不完全信息博弈(不知道买方的真实估值只知道估值分布，知道自己的估值)，如果对于买方i，在给定其他买方策略不变的情况下，自身收益达到最大，那么他没有动力去调整自己的报价（风险中性），系统整体处于稳定状态，我们说此时构成该机制的一个纳什均衡。直接机制要求每个买方同时独立的直接报告自己的估价，如果每个买方真实报告自己的估价形成一个纳什均衡，那么我们称为真实均衡。

根据显示性原理，任何一种机制的任何均衡结果都可以通过某个直接机制的真实均衡来复制，即二者之间是等价的，所以我们可以聚焦于直接机制。

上面说在直接机制里每个买家真实的报告自己估价，如果形成纳什均衡，称为真实均衡，那么此时表明该机制是激励兼容的：

说真话对于买家来讲是一个弱占优策略，即对于买家 ，估计为  ，报价为  时，则买家  的效用（消费者剩余）为：

在我们前面连接 提到的单物品第二价格密封拍卖就满足激励兼容(分配规则:报价高者得，支付规则:二价结算)，我们可以通过简单的推理得出：

说真话即  是弱占优策略。

推理如下：假设有  个买家，买家  的估价为  ，报价为  ，  ，如果  ，则买家获得物品，买家效用  ；反之则不获得物品，此时买家效用  ，分为两大类来分别分析：  和  ；

•  时

1. 当  ，获得物品，此时买家i的效用  ，与  时效用相同；
2. 当  ，获得物品，此时买家i的效用  ，效用低于  时效用（不获得物品效用为0）；
3. 当  ，不获得物品，此时买家效用为  ，效用与  时效用相同（不获得物品效用为0）。

1. 当  ，获得物品，此时买家  的效用  ，与  时效用相同；
2. 当  ，不获得物品，此时买家i的效用为  ，效用低于  时效用（获得物品，买家的效用  ）；
3. 当  ，不获得物品，此时买家效用为  ，效用与  时效用相同（不获得物品效用为0）。

综上所述，推理完毕。

之所以研究激励兼容这个特性，是因为它能够引导广告主说真话，以自己对曝光的真实估计来参与竞价，只有广告主认为物有所值才会持续参与，对广告平台而言会形成一种健康的竞价环境，有利于长期发展，比如Facebook所采用的的VCG机制也满足激励兼容：

• 配置规则：报价最高者得
• 支付规则：买家  支付的数额等于由于自身参与给其他买家带来的损失之和

显然不是人人都这么想，下一节我们介绍如何选择机制才能使得卖家的收益最大化，虽然它不是激励兼容的，也不是有效公平的，但不妨有大批追随者，这大概就是所谓的选择不同吧。

本文作者 @莫菲克

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