SVM零基础系列教程（二）

2016-05-15 11:24:00

原文链接：SVM - Understanding the math - Part 2

在SVM教程的第一部分中，我们了解了SVM的目标。它的目标是是寻找最大化间隔的超平面。

但是我们如何计算这个边距？

SVM = Support VECTOR Machine

在支持向量机中，有一个概念，叫做向量（vector）。

这也就是说理解向量和如何使用它们是很重要的。

Here a short sum-up of what we will see today:
这是今天我们将要了解的内容的摘要：

什么是向量？

它的范数

它的方向
向量加减法
什么是点乘
如何将一个向量投影到另一个向量上

什么是向量？

如果我们定义点$A(3,4)$，我们能够把它像这样绘制出来。

图 1：一个点

定义：点 $x=(x1,x2),x≠0$ in $R^2 $确定平面的一个向量，即向量的起点为原点，终点为点x。

这个定义的意思是在原点和点A存在一个向量。

图 2 - 一个向量

如果我们说原点坐标为 $O（0,0）$，那么上边的这条向量是$OA$，我们也能够给它一个抽象的名字例如$u$。

注意：你可能注意到我们书写的向量，要么是在字母顶端标箭头，要么加粗。在文章的接下来的部分我将会使用箭头，在存在两个字母像$OA$，在其他情况下加粗标识。

好，目前我们向量的存在，但是我们仍然不知道什么是向量。

定义：向量是一个同时拥有大小和方向的东西。

我们将会从两个方面来理解这个概念。

1）向量的大小

向量X的大小或者长度被写作 $| x |$，被称范数。

对于我们的向量$OA$，$||OA||$就是线段$OA$的长度

图3

使用勾股定理能够很容易地计算出图3中$OA$的距离：

$OA^2=OB^2+AB^2$
$OA^2=3^2+4^2$
$OA^2=25$
$OA=sqrt{25}$
$||OA||=OA=5$

2）向量的方向

方向是向量的第二个组成部分。

定义：向量$u(u_1,u_2)$的方向是向量$w(frac{u1}{∥u∥},frac{u2}{∥u∥})$

$w$ 的坐标是怎么来的？

理解定义

为了找到向量的方向，我们需要使用它的角度。

图4 - 向量的方向

图4表示向量 $u(u_1,u_2)$ 中 $u_1=3$，$u_2=4$

我们可以得出：

朴素的定义1：向量 $u$ 的方向是由横轴夹角 $theta$ 和纵轴夹角 $alpha$ 决定的。

这个有点荒谬，实际上我们用角度的余弦值确定向量的方向。

在右边的三角形中，角 $beta$ 的余弦值定义为：

$cos(beta) = frac{邻边}{斜边}$

在图4中我们能够找到两个三角形，它们的邻边是坐标轴之一，这也就是说余弦值的定义隐含着和角度相关的坐标轴。我们可以将我们的朴素定义换一种方式表达：

朴素定义 2：向量 $u$ 的方向是由角 $theta$ 的余弦值和角 $alpha$ 的余弦值决定的。

现在我们看看它们的值：

$cos(theta) = frac{u_1}{||u||}$
$cos(alpha) = frac{u_2}{||u||}$

这就是向量 $w$ 最初的定义，这是为什么它的坐标也被称为方向余弦。

计算向量的方向

我们现在将开始计算图4中向量 $u$ 的方向：

$cos(theta) = frac{u_1}{||u||} = frac{3}{5} = 0.6$
和
$cos(theta) = frac{u_2}{||u||} = frac{4}{5} = 0.6$

$u(3,4) $的方向是向量 $w(0.6,0.8)$

如果我们绘制出这个向量我们就得到了图5：

Figure 5: the direction of u
图 5：u 的方向

我们能够看到 $w$ 除了更小一些外，其他的实际上和 $u$ 是一样的。有趣的是类似 $w$ 这样的方向向量的范数为1。这就是为什么我们常常称它们为单位向量。

向量的加减法

两个向量的和

图 6：向量u和v

已知向量 $u(u_1,u_2)$ 和 $v(v_1,v_2)$：
$$u+v = (u_1+v_1,u_2+v_2)$$

也就是说，两个向量相加得到的新向量的坐标是两个向量的坐标的和。

你可以通过下边的这个例子确信这一点：

图 7：两个向量的和

两个向量的差

差的运算同理：
$$u+v = (u_1-v_1,u_2-v_2)$$

图 8：两个向量的差

因为减法是没有交换律的，我们也可以考虑另外一种情况：

图 9：u-v的差

最后两张图描述了$u$和$v$的差向量

然而，因为向量有大小和方向，我们常常考虑向量平移变换（拥有相同大小和方向但是起点不一样的向量）得到的向量是一样的，仅仅是在空间上不同地方绘制而已。

因此如果你遇到如下的情况不要感到惊讶：

图 10：v-u的另一种展现方式

和

图 11：u-v的另一种展现方式

如果你进行数学计算，它看起来是错的，因为向量 $u-v$ 的终点并不在正确的位置，但是你讲会在以后经常遇到这种便捷地表示向量的方式。

点乘

点乘是理解SVM的一个非常重要的概念。

"定义：从几何的角度看，点乘的结果是两个向量的欧氏距离和他们之间的夹角。"

也就是说，如果我们有两个向量$x$和$y$，以及它们之间的夹角 $theta$ ，它们的点乘是：

$$xcdot y = ||x||||y||cos(theta)$$

为什么？

为了理解这个，让我们从几何的角度看看这个问题。

我们来看看定义中 $cos(theta)$ 是什么。

根据定义我们知道在直角角形中：

$$cos(theta) = frac{邻边}{斜边}$$

在我们的例子中，我们并没有直角三角形。

然而如果我们换一个角度看图 12，我们能够找到两个直角三角形，每个都是由向量和横轴的组成的。

图 13

和

图 14

因此现在我们能够像这样的方式观察之前的图：

图 15

我们能够得到
$$theta = beta - alpha$$
因此计算 $cos(theta)$ 等价于计算 $cos(beta - alpha)$

有一个公式被称之为 difference identity ：
$$cos(beta - alpha) = cos(beta)cos(alpha) + sin(beta)sin(alpha)$$
（如果你想了解更多，请看这个例子）

让我们使用这个公式！

$$cos(beta) = frac{邻边}{斜边} = frac{x_1}{||x||}$$
$$sin(beta) = frac{对边}{斜边} = frac{x_2}{||x||}$$
$$cos(alpha) = frac{邻边}{斜边} = frac{y_1}{||y||}$$
$$cos(alpha) = frac{对边}{斜边} = frac{y_2}{||y||}$$

因此如果我们替换每个参数

$$cos(beta - alpha) = cos(beta)cos(alpha) + sin(beta)sin(alpha)$$
$$cos(theta) = frac{x_1}{||x||}frac{y_1}{||y||}+frac{x_2}{||x||}frac{y_2}{||y||}$$
$$cos(theta) = frac{x_1y_1+x_2y_2}{|x||y|}$$

如果我们两边同时乘以$|x| |y|$得到：

$|x||y|cos(theta) = x_1y_1 + x_2y_2$

等价于：
$|x||y|cos(θ)=xy$

我们能够发现点乘的几何定义！

实际上我们能够从最后两个公式中看到：

$$xy = x_1y_1 + x_2y_2 = sum{2}{i=1}(x_iy_i)$$

这是点乘的代数定义！

关于记号的一些说明

点乘之说以被这样称呼是因为我们在两个向量中间写了一个点。
讨论点乘$xcdoty$和讨论一下的说法是一样的

$$的内积
数量积，因为我们将两个向量相乘得到了一个实数

向量的正交投影

给定两个向量$x$和$y$，我们想找到$x$在$y$上的正交投影。

图 16

为了能够这样做，我们将向量$mathbf{x}$投影在$mathbf{y}$上

图 17

我们得到向量$mathbf{z}$

根据定义：

$$cos(theta) = frac{|z|}{|x|}$$
$$|z| = |x|cos(theta)$$

我们已经知道了点乘公式

$$cos(theta) = frac{mathbf{x}cdotmathbf{y}}{|x||y|}$$

因此我们替换公式中的$cos(theta)$：

$$|z| = |x|frac{mathbf{x}cdotmathbf{y}}{|x||y|}$$

如果我们定义$mathbf{u}$为$mathbf{y}$的方向，然后：

$$mathbf{u} = frac{mathbf{y}}{|y|}$$

和

$$|z| = mathbf{u}cdotmathbf{x}$$

我们现在有了计算向量$mathbf{z}$的范数的简单的方法。
因为向量$mathbf{z}$和$mathbf{y}$的方向一致，也是向量$mathbf{u}$的方向

$$mathbf{u}=frac{mathbf{z}}{|z|}$$
$$mathbf{z} = |z|mathbf{u}$$

因此我们能够说：

向量$mathbf{z} = (mathbf{u}cdotmathbf{x})mathbf{u}$是$mathbf{x}$到$mathbf{y}$的正交投影。

为什么我们对于正交投影如此感兴趣呢？在我们的例子中，它让我们能够计算$mathbf{x}$和经过$mathbf{y}$的直线之间的距离。

图 19

我们能够看到这个距离就是$|x-z|$

$$|x-z| = sqrt{(3-4)^2+(5-1)^2} = sqrt{17}$$

SVM 超平面

理解超平面公式

你也许了解到直线方程是这样的：$y = ax+b$。然而，当你读到超平面的时候，你将会发现超平面方程是这样定义的：

$$mathbf{w}^Tmathbf{x} = 0$$

两者之间有什么联系呢？
在超平面方程中，你能够发现变量名是粗体的。这也就是说它们都是向量！更重要的是，$mathbf{w}^Tmathbf{x}$是我们计算两个向量内积的方法，如果你会想前边所讲过的，内积就是点乘的另一种说法！

注意

$$y = ax +b$$
和

$$y-ax-b = 0$$

是一样的

给定两个向量$mathbf{w}(-b,-a,1)和mathbf{x}(1,x,y)$

$$mathbf{w}^Tmathbf{x} = -b times (1) + (-a)times x + 1 times y$$
$$mathbf{w}^Tmathbf{x} = y - ax -b$$

两个方程仅仅是用不同的方式表达同样的意思。

有趣的是，$w_0$的值为$-b$，也就是说这个值决定这直线和纵轴的交点。

为什么我们使用超平面方程$mathbf{w}^Tmathbf{x}$而不是$ y=ax+b$？

两个原因：

这种表达方式在高于二维的尺度上更加有效
向量$mathbf{w}$是超平面的法线

并且最后一条性质在计算点到超平面的距离上十分有用。

计算点到超平面的距离

在图20 我们有一个超平面，将数据分为了两组。

图 20
为了简化这个例子，我们设$w_0=0$。

正如你在图20上看到的，超平面方程为：
$$x_2 = -2x_1$$

等价于

$$mathbf{w}^Tmathbf{x} = 0$$

其中$mathbf{w}(2,1)$、$mathbf{x}(x_1,x_2)$

注意向量$mathbf{w}$在图20中。（$mathbf{w}$不是一个数据点）
我们想计算点$A(3,4)$到超平面的距离。
这个是$A$和它在超平面上的投影的距离

图 21

我们可以将点 $A$ 视为一个从原点到 $A$ 的向量。
如果我们将它投影到法向量 $mathbf{w}$

图 22：$mathbf{a}$ 投影到 $mathbf{w}$

我们得到向量 $mathbf{p}$

图 23：p 是 a 投影到 w 的向量

我们的目标是找到 $A(3,4)$ 和超平面之间的距离。
通过图 23 我们能够看到这个距离等于 $|p|$。
让我们来计算这个值。

我们从这两个向量开始，$mathbf{w}=(2,1)$ 是超平面是法向量，$mathbf{a}=(3,4)$ 是从原点到点 $A$ 之间的向量。

$$|w| = sqrt{2^2+1^2} = sqrt{5}$$

设向量 $mathbf{u}$ 是 $mathbf{w}$ 的方向向量

$$mathbf{u} = (frac{2}{sqrt{5}},frac{1}{sqrt{5}})$$

$mathbf{p}$ 是 $mathbf{a}$ 在 $mathbf{w}$ 上的正交投影，因此：

$$mathbf{p}=(mathbf{u}cdotmathbf{a})mathbf{u}$$
$$mathbf{p}=(3timesfrac{2}{sqrt{5}}+4timesfrac{1}{sqrt{5}})mathbf{u}$$
$$mathbf{p}=(frac{6}{sqrt{5}}+frac{4}{sqrt{5}})mathbf{u}$$
$$mathbf{p}=frac{10}{sqrt{5}}mathbf{u}$$
$$mathbf{p}=(frac{10}{sqrt{5}}timesfrac{2}{sqrt{5}},frac{10}{sqrt{5}}timesfrac{1}{sqrt{5}})$$
$$mathbf{p}=(frac{20}{5},frac{10}{5})$$
$$mathbf{p}=(4,2)$$
$$|p| = sqrt{4^2+2^2} = 2sqrt{5}$$