跳表 skiplist

最初知道跳表(Skip List)是在看redis原理的时候,redis中的有序集合使用了跳表作为数据结构。接着就查了一些资料,来学习一下跳表。后面会使用java代码来实现跳表。

跳表简介

跳表由William Pugh发明。他在论文《Skip lists: a probabilistic alternative to balanced trees》中详细介绍了跳表的数据结构和插入删除等操作。论文是这么介绍跳表的:

Skip lists are a data structure that can be used in place of balanced trees.
Skip lists use probabilistic balancing rather than strictly enforced balancing and as a result the algorithms for insertion and deletion in skip lists are much simpler and significantly faster than equivalent algorithms for balanced trees.

也就是说,跳表可以用来替代红黑树,使用概率均衡技术,插入、删除操作更简单、更快。

作者在文章中由链表的查找一步步引入到跳表的介绍。首先来看论文里的一张图:

上图a,已排好序的链表,查找一个结点最多需要比较N个结点。

上图b,每隔2个结点增加一个指针,指向该结点间距为2的后续结点,那么查找一个结点最多需要比较ceil(N/2)+1个结点。

上图c,每隔4个结点增加一个指针,指向该结点间距为4的后续结点,那么查找一个结点最多需要比较ceil(N/4)+1个结点。

如果每第2^i个结点都有一个指向间距为2^i的后续结点的指针,这样不断增加指针,比较次数会降为log(N)。这样的话,搜索会很快,但插入和删除会很困难。

一个拥有k个指针的结点称为一个k层结点(level k node)。按照上面的逻辑,50%的结点为1层,25%的结点为2层,12.5%的结点为3层...如果每个结点的层数随机选取,但仍服从这样的分布呢(上图e,对比上图d)?

使一个k层结点的第i个指针指向第i层的下一个结点,而不是它后面的第2^(i-1)个结点,那么结点的插入和删除只需要原地修改操作;一个结点的层数,是在它被插入的时候随机选取的,并且永不改变。因为这样的数据结构是基于链表的,并且额外的指针会跳过中间结点,所以作者称之为跳表(Skip Lists)。

跳表的算法

原始论文使用伪代码的形式来描述算法。本文以java语言来描述算法。

首先定义一下需要用的数据结构。表中的元素使用结点来表示,结点的层数在它被插入时随机计算决定(与表中已有结点数目无关)。一个i层的结点有i个前向指针(java中使用结点对象数组forward来表示),索引为从1到i。用MaxLevel来记录跳表的最大层数。跳表的层数为当前所有结点中的最大层数(如果list为空,则层数为1)。列表头header拥有从1到MaxLevel的前向指针:

public class SkipList {

// 最高层数private final int MAX_LEVEL;// 当前层数private int listLevel;// 表头private SkipListNode listHead;// 表尾private SkipListNode NIL;// 生成randomLevel用到的概率值private final double P;// 论文里给出的最佳概率值private static final double OPTIMAL_P = 0.25;public SkipList() {    // 0.25, 15    this(OPTIMAL_P, (int)Math.ceil(Math.log(Integer.MAX_VALUE) / Math.log(1 / OPTIMAL_P)) - 1);}public SkipList(double probability, int maxLevel) {    P = probability;    MAX_LEVEL = maxLevel;    listLevel = 1;    listHead = new SkipListNode(Integer.MIN_VALUE, null, maxLevel);    NIL = new SkipListNode(Integer.MAX_VALUE, null, maxLevel);    for (int i = listHead.forward.length - 1; i >= 0; i--) {        listHead.forward[i] = NIL;    }}// 内部类class SkipListNode {    int key;    T value;    SkipListNode[] forward;    public SkipListNode(int key, T value, int level) {        this.key = key;        this.value = value;        this.forward = new SkipListNode[level];    }}

}

搜索

按key搜索,找到返回该key对应的value,未找到则返回null。

通过遍历forward数组来需找特定的searchKey。假设skip list的key按照从小到大的顺序排列,那么从跳表的当前最高层listLevel开始寻找searchKey。在某一层找到一个非小于searchKey的结点后,跳到下一层继续找,直到最底层为止。那么根据最后搜索停止位置的下一个结点,就可以判断searchKey在不在跳表中。

下图为在跳表中找8的过程:

插入和删除

插入的删除的方法相似,都是通过查找与连接(search and splice),如下图:

维护一个update数组,在搜索结束之后,update[i]保存的是待插入/删除结点在第i层的左侧结点。

1. 插入

若key不存在,则插入该key与对应的value;若key存在,则更新value。

如果待插入的结点的层数高于跳表的当前层数listLevel,则更新listLevel。

选择待插入结点的层数randomLevel:

randomLevel只依赖于跳表的最高层数和概率值p。算法在后面的代码中。

另一种实现方法为,如果生成的randomLevel大于当前跳表的层数listLevel,那么将randomLevel设置为listLevel+1,这样方便以后的查找,在工程上是可以接受的,但同时也破坏了算法的随机性。

2. 删除

删除特定的key与对应的value。

如果待删除的结点为跳表中层数最高的结点,那么删除之后,要更新listLevel。

java版代码

参考了网上的一些代码,用java写了一版,包含main函数,可运行。

public class SkipList {

// 最高层数private final int MAX_LEVEL;// 当前层数private int listLevel;// 表头private SkipListNode listHead;// 表尾private SkipListNode NIL;// 生成randomLevel用到的概率值private final double P;// 论文里给出的最佳概率值private static final double OPTIMAL_P = 0.25;public SkipList() {    // 0.25, 15    this(OPTIMAL_P, (int)Math.ceil(Math.log(Integer.MAX_VALUE) / Math.log(1 / OPTIMAL_P)) - 1);}public SkipList(double probability, int maxLevel) {    P = probability;    MAX_LEVEL = maxLevel;    listLevel = 1;    listHead = new SkipListNode(Integer.MIN_VALUE, null, maxLevel);    NIL = new SkipListNode(Integer.MAX_VALUE, null, maxLevel);    for (int i = listHead.forward.length - 1; i >= 0; i--) {        listHead.forward[i] = NIL;    }}// 内部类class SkipListNode {    int key;    T value;    SkipListNode[] forward;    public SkipListNode(int key, T value, int level) {        this.key = key;        this.value = value;        this.forward = new SkipListNode[level];    }}public T search(int searchKey) {    SkipListNode curNode = listHead;    for (int i = listLevel; i > 0; i--) {        while (curNode.forward[i].key [] update = new SkipListNode[MAX_LEVEL];    SkipListNode curNode = listHead;    for (int i = listLevel - 1; i >= 0; i--) {        while (curNode.forward[i].key  newNode = new SkipListNode(searchKey, newValue, lvl);        for (int i = 0; i [] update = new SkipListNode[MAX_LEVEL];    SkipListNode curNode = listHead;    for (int i = listLevel - 1; i >= 0; i--) {        while (curNode.forward[i].key  0 && listHead.forward[listLevel - 1] == NIL) {            listLevel--;        }    }}private int randomLevel() {    int lvl = 1;    while (lvl = 0; i--) {        SkipListNode curNode = listHead.forward[i];        while (curNode != NIL) {            System.out.print(curNode.key + "->");            curNode = curNode.forward[i];        }        System.out.println("NIL");    }}public static void main(String[] args) {    SkipList sl = new SkipList();    sl.insert(20, 20);    sl.insert(5, 5);    sl.insert(10, 10);    sl.insert(1, 1);    sl.insert(100, 100);    sl.insert(80, 80);    sl.insert(60, 60);    sl.insert(30, 30);    sl.print();    System.out.println("---");    sl.delete(20);    sl.delete(100);    sl.print();}

}

参考资料

  1. William Pugh的原始论文

  2. Skip lists are fascinating!

关键字:数据结构

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