跳表 skiplist
最初知道跳表（Skip List）是在看redis原理的时候，redis中的有序集合使用了跳表作为数据结构。接着就查了一些资料，来学习一下跳表。后面会使用java代码来实现跳表。
跳表简介
跳表由William Pugh发明。他在论文《Skip lists: a probabilistic alternative to balanced trees》中详细介绍了跳表的数据结构和插入删除等操作。论文是这么介绍跳表的：
Skip lists are a data structure that can be used in place of balanced trees.
Skip lists use probabilistic balancing rather than strictly enforced balancing and as a result the algorithms for insertion and deletion in skip lists are much simpler and significantly faster than equivalent algorithms for balanced trees.
也就是说，跳表可以用来替代红黑树，使用概率均衡技术，插入、删除操作更简单、更快。
作者在文章中由链表的查找一步步引入到跳表的介绍。首先来看论文里的一张图：
上图a，已排好序的链表，查找一个结点最多需要比较N个结点。
上图b，每隔2个结点增加一个指针，指向该结点间距为2的后续结点，那么查找一个结点最多需要比较ceil(N/2)+1个结点。
上图c，每隔4个结点增加一个指针，指向该结点间距为4的后续结点，那么查找一个结点最多需要比较ceil(N/4)+1个结点。
如果每第2^i个结点都有一个指向间距为2^i的后续结点的指针，这样不断增加指针，比较次数会降为log(N)。这样的话，搜索会很快，但插入和删除会很困难。
一个拥有k个指针的结点称为一个k层结点（level k node）。按照上面的逻辑，50%的结点为1层，25%的结点为2层，12.5%的结点为3层...如果每个结点的层数随机选取，但仍服从这样的分布呢（上图e，对比上图d）？
使一个k层结点的第i个指针指向第i层的下一个结点，而不是它后面的第2^(i-1)个结点，那么结点的插入和删除只需要原地修改操作；一个结点的层数，是在它被插入的时候随机选取的，并且永不改变。因为这样的数据结构是基于链表的，并且额外的指针会跳过中间结点，所以作者称之为跳表（Skip Lists）。
跳表的算法
原始论文使用伪代码的形式来描述算法。本文以java语言来描述算法。
首先定义一下需要用的数据结构。表中的元素使用结点来表示，结点的层数在它被插入时随机计算决定（与表中已有结点数目无关）。一个i层的结点有i个前向指针（java中使用结点对象数组forward来表示），索引为从1到i。用MaxLevel来记录跳表的最大层数。跳表的层数为当前所有结点中的最大层数（如果list为空，则层数为1）。列表头header拥有从1到MaxLevel的前向指针：
public class SkipList {
// 最高层数private final int MAX_LEVEL;// 当前层数private int listLevel;// 表头private SkipListNode listHead;// 表尾private SkipListNode NIL;// 生成randomLevel用到的概率值private final double P;// 论文里给出的最佳概率值private static final double OPTIMAL_P = 0.25;public SkipList() { // 0.25, 15 this(OPTIMAL_P, (int)Math.ceil(Math.log(Integer.MAX_VALUE) / Math.log(1 / OPTIMAL_P)) - 1);}public SkipList(double probability, int maxLevel) { P = probability; MAX_LEVEL = maxLevel; listLevel = 1; listHead = new SkipListNode(Integer.MIN_VALUE, null, maxLevel); NIL = new SkipListNode(Integer.MAX_VALUE, null, maxLevel); for (int i = listHead.forward.length - 1; i >= 0; i--) { listHead.forward[i] = NIL; }}// 内部类class SkipListNode { int key; T value; SkipListNode[] forward; public SkipListNode(int key, T value, int level) { this.key = key; this.value = value; this.forward = new SkipListNode[level]; }}}
搜索
按key搜索，找到返回该key对应的value，未找到则返回null。
通过遍历forward数组来需找特定的searchKey。假设skip list的key按照从小到大的顺序排列，那么从跳表的当前最高层listLevel开始寻找searchKey。在某一层找到一个非小于searchKey的结点后，跳到下一层继续找，直到最底层为止。那么根据最后搜索停止位置的下一个结点，就可以判断searchKey在不在跳表中。
下图为在跳表中找8的过程：
插入和删除
插入的删除的方法相似，都是通过查找与连接（search and splice），如下图：
维护一个update数组，在搜索结束之后，update[i]保存的是待插入/删除结点在第i层的左侧结点。
1. 插入
若key不存在，则插入该key与对应的value；若key存在，则更新value。
如果待插入的结点的层数高于跳表的当前层数listLevel，则更新listLevel。
选择待插入结点的层数randomLevel：
randomLevel只依赖于跳表的最高层数和概率值p。算法在后面的代码中。
另一种实现方法为，如果生成的randomLevel大于当前跳表的层数listLevel，那么将randomLevel设置为listLevel+1，这样方便以后的查找，在工程上是可以接受的，但同时也破坏了算法的随机性。
2. 删除
删除特定的key与对应的value。
如果待删除的结点为跳表中层数最高的结点，那么删除之后，要更新listLevel。
java版代码
参考了网上的一些代码，用java写了一版，包含main函数，可运行。
public class SkipList {
// 最高层数private final int MAX_LEVEL;// 当前层数private int listLevel;// 表头private SkipListNode listHead;// 表尾private SkipListNode NIL;// 生成randomLevel用到的概率值private final double P;// 论文里给出的最佳概率值private static final double OPTIMAL_P = 0.25;public SkipList() { // 0.25, 15 this(OPTIMAL_P, (int)Math.ceil(Math.log(Integer.MAX_VALUE) / Math.log(1 / OPTIMAL_P)) - 1);}public SkipList(double probability, int maxLevel) { P = probability; MAX_LEVEL = maxLevel; listLevel = 1; listHead = new SkipListNode(Integer.MIN_VALUE, null, maxLevel); NIL = new SkipListNode(Integer.MAX_VALUE, null, maxLevel); for (int i = listHead.forward.length - 1; i >= 0; i--) { listHead.forward[i] = NIL; }}// 内部类class SkipListNode { int key; T value; SkipListNode[] forward; public SkipListNode(int key, T value, int level) { this.key = key; this.value = value; this.forward = new SkipListNode[level]; }}public T search(int searchKey) { SkipListNode curNode = listHead; for (int i = listLevel; i > 0; i--) { while (curNode.forward[i].key [] update = new SkipListNode[MAX_LEVEL]; SkipListNode curNode = listHead; for (int i = listLevel - 1; i >= 0; i--) { while (curNode.forward[i].key newNode = new SkipListNode(searchKey, newValue, lvl); for (int i = 0; i [] update = new SkipListNode[MAX_LEVEL]; SkipListNode curNode = listHead; for (int i = listLevel - 1; i >= 0; i--) { while (curNode.forward[i].key 0 && listHead.forward[listLevel - 1] == NIL) { listLevel--; } }}private int randomLevel() { int lvl = 1; while (lvl = 0; i--) { SkipListNode curNode = listHead.forward[i]; while (curNode != NIL) { System.out.print(curNode.key + "->"); curNode = curNode.forward[i]; } System.out.println("NIL"); }}public static void main(String[] args) { SkipList sl = new SkipList(); sl.insert(20, 20); sl.insert(5, 5); sl.insert(10, 10); sl.insert(1, 1); sl.insert(100, 100); sl.insert(80, 80); sl.insert(60, 60); sl.insert(30, 30); sl.print(); System.out.println("---"); sl.delete(20); sl.delete(100); sl.print();}}
参考资料
William Pugh的原始论文
Skip lists are fascinating!
关键字：数据结构
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