第5章 矩阵和线性变换

• 5.1 旋转（rotation）
• 5.2 缩放（scale）
• 5.3 正交投影（orthographic projectio）
• 5.4 反射（reflection）
• 5.5 错切（shearing）
• 5.6 组合变换
• 5.7 变换的分类
• • 线性变换（Linear Transformations）
  • 仿射变换（ Affine Transformations
  • 可逆变换（ Invertible Transformations）
  • 保持角度的变换（Angle-Preserving Transformations）
  • 正交变换（Orthogonal Transformations）
  • 刚体变换（Rigid Body Transformations）
  • 转换类型总结

5.1 旋转（rotation）

在二维中，我们只能做一种旋转：绕一个点旋转（不包括平移）。
围绕原点的二维旋转只有一个参数，角θ，它定义了旋转的量。大多数数学书中的标准惯例是认为逆时针旋转为正，顺时针旋转为负。(然而，不同的约定适用于不同的情况。)

二维旋转矩阵

在三维中，旋转发生在轴上（不考虑平移），而不是点上，旋转轴不一定是x轴、y轴或z轴中的一个，旋转的方向遵循左手规则。
绕x轴旋转的三维矩阵


绕y轴旋转的三维矩阵


绕z轴旋转的三维矩阵


绕任意轴旋转的三维矩阵

推导：
定义θ为绕轴旋转的量。轴将由单位矢量定义。

• 矢量w与、互相垂直，且与长度相同。绕旋转90°即可构成。因此，w
  = ×可以很容易地计算出它的值。
• 注意w和组成了一个二维坐标空间，是x轴，w是y轴。(注意，这两个向量不一定有单位长度)是将在这个平面内旋转θ角的结果。注意，这与将一个角度旋转到标准位置几乎相同。因此，可以计算为：
  

计算过程：

将矢量p，q，r分别带入v，得：

所以：

5.2 缩放（scale）

如果我们希望拉伸或挤压物体，我们可以在不同的方向上应用不同的比例因子，从而导致比例不均匀。非均匀尺度不能保持角度不变。长度、面积和体积是根据相对于尺度方向的方向变化的因素来调整的。

• 如果|k| < 1，那么物体在这个方向上变短。
• 如果|k| > 1，物体变长。
• 如果k = 0，那么我们获得一个正交投影，在第5.3节讨论。
• 如果k < 0，则我们获得一个反射，在第5.4节中介绍。

沿着主轴缩放




如果我们将任意向量乘以这个矩阵，那么，正如预期的那样，每个分量都被适当的比例因子缩放：

按任意方向缩放


推导：
定义θ为绕轴旋转的量。轴将由单位矢量定义。

由于垂直于，不受缩放操作的影响。
计算过程：

将矢量p，q分别带入v，得：

所以二维缩放矩阵：

将矢量p，q，r分别带入v，得：

所以三维缩放矩阵：

5.3 正交投影（orthographic projectio）

一般来说，投影一词指的是任何降维操作。
我们实现正交投影的一种方法是在一个方向上使用0的比例因子。在这种情况下，所有的点都被平放在垂直轴(在二维中1)或平面(在三维中)上。这种类型的投影是正交投影（orthographic projection），也被称为平行投影（parallel projection），因为从原始点到它们的投影对应点的线是平行的。

投影到主轴上（二维）

投影到主平面上（三维）

投影到任意直线上的二维矩阵，直线要穿过原点
将k = 0代入二维S(nˆ, k)缩放公式

投影到任意平面上的三维矩阵，平面必须包含原点
将k = 0代入三维S(nˆ, k)缩放公式

5.4 反射（reflection）

在二维中轴反射对象

反射可以通过应用−1的比例因子来完成。设nˆ是二维单位向量。然后，由下式给出围绕穿过原点并垂直nˆ的反射轴来执行反射的矩阵（将k = -1代入二维S(nˆ, k)缩放公式）：

在三维中，我们有一个反射平面而不是轴。为了使变换是线性的，平面必须包含原点（将k = -1代入三维S(nˆ, k)缩放公式）：

5.5 错切（shearing）

错切是一种使坐标空间“倾斜”的变换，它将不均匀地拉伸，角度没有保留；然而，面积和体积在错切后相等。
基本思想是将一个坐标的倍数加到另一个坐标上。

二维沿轴错切

三维沿平面错切

5.6 组合变换

例子：从对象空间转换到相机空间

5.7 变换的分类

线性变换（Linear Transformations）

包括旋转（rotation）、比例缩放（scale）、正交投影（orthographic projectio）、反射（reflection）、错切（shearing），不包括平移（translation）
形如v’ = vM

仿射变换（ Affine Transformations

）
线性变换（Linear Transformations） + 平移（translation）
形如v’ = vM + b

可逆变换（ Invertible Transformations）

一个变换是可逆的：如果存在一个相反的变换，称为F的逆变换，它“撤销”了原始的变换。
除了投影，所有的原始变换都是可逆的。

保持角度的变换（Angle-Preserving Transformations）

如果两个向量之间的夹角在变换后在大小或方向上都没有改变，那么这个变换就是保持角度的。

正交变换（Orthogonal Transformations）

平移、旋转和反射是唯一的正交变换。所有正交变换都是仿射的并且可逆的。长度、角度、面积和体积都被保留。
正交矩阵保留角度、面积和体积的大小，但可能不保留符号。
正交矩阵的行列式是±1。

刚体变换（Rigid Body Transformations）

指改变物体的位置和方向，但不改变其形状。所有的角度、长度、面积和体积都保留了下来。
平移和旋转是唯一的刚体变换。反射不被认为是刚体变换。
刚体变换也称为合适变换（proper transformations）。
所有刚体变换都是正交的、保持角度的、可逆的、仿射的。
刚体变换是最严格的一类变换。
任意刚体变换矩阵的行列式都是1。

转换类型总结

在这个表中，Y表示该行中的转换总是具有与该列相关联的属性。没有Y并不意味着“从不”；相反，它的意思是“不总是”。

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