别人家的面试题:统计“1”的个数

小胡子哥@Barret李靖给我推荐了一个写算法刷题的地方leetcode.com,没有ACM那么难,但题目很有趣。而且据说这些题目都来源于一些公司的面试题。好吧,解解别人公司的面试题其实很好玩,既能整理思路锻炼能力,又不用担心漏题 ╮(╯▽╰)╭。

长话短说,让我们来看一道题:

统计“1”的个数

给定一个非负整数num,对于任意i,0 ≤ i ≤ num,计算i的值对应的二进制数中“1” 的个数,将这些结果返回为一个数组。

例如:

当num = 5时,返回值为[0,1,1,2,1,2]。

/

  • @param {number} num
  • @return {number[]}
  • /
    var countBits = function(num) {
    //在此处实现代码
    };

    解题思路

    这道题咋一看还挺简单的,无非是:

  1. 实现一个方法countBit,对任意非负整数n,计算它的二进制数中“1”的个数

  2. 循环i从0到num,求countBit(i),将值放在数组中返回。

JavaScript中,计算countBit可以取巧:

function countBit(n){
return n.toString(2).replace(/0/g,"").length;
}
上面的代码里,我们直接对n用toString(2)转成二进制表示的字符串,然后去掉其中的0,剩下的就是“1”的个数。

然后,我们写一下完整的程序:

function countBit(n){
return n.toString(2).replace(/0/g,'').length;
}
function countBits(nums){
var ret = [];  
for(var i = 0; i
上面这种写法十分讨巧,好处是countBit利用JavaScript语言特性实现得十分简洁,坏处是如果将来要将它改写成其他语言的版本,就有可能懵B了,它不是很通用,而且它的性能还取决于Number.prototype.toString(2)和String.prototype.replace的实现。

所以为了追求更好的写法,我们有必要考虑一下countBit的通用实现法。

我们说,求一个整数的二进制表示中“1”的个数,最普通的当然是一个O(logN) 的方法:

function countBit(n){
var ret = 0;
while(n > 0){
ret += n & 1;
n >>= 1;
}
return ret;
}
这么实现也很简洁不是吗?但是这么实现是否最优?建议此处思考10秒钟再往下看。

更快的countBit

上一个版本的countBit的时间复杂度已经是O(logN) 了,难道还可以更快吗?当然是可以的,我们不需要去判断每一位是不是“1”,也能知道n的二进制中有几个“1”。

有一个诀窍,是基于以下一个定律:

  1. 对于任意 n, n ≥ 1,有如下等式成立:

countBit(n & (n - 1)) === countBit(n) - 1
这个很容易理解,大家只要想一下,对于任意n,n – 1的二进制数表示正好是n的二进制数的最末一个“1”退位,因此n & n – 1正好将n的最末一位“1”消去,例如:

  1. 6的二进制数是110, 5 = 6 – 1的二进制数是101,6 & 5的二进制数是110 & 101 == 100

  2. 88的二进制数是1011000,87 = 88 – 1的二进制数是 1010111,88 & 87的二进制数是1011000 & 1010111 == 1010000

于是,我们有了一个更快的算法:

function countBit(n){
var ret = 0;
while(n > 0){
ret++;
n &= n - 1;
}
return ret;
}
function countBits(nums){
var ret = [];
for(var i = 0; i
上面的countBit(88)只循环3次,而上一版本的countBit(88)却需要循环7次。

优化到了这个程度,是不是一切都结束了呢?从算法上来说似乎已经是极致了?真的吗?再给大家 30 秒时间思考一下,然后再往下看。

countBits的时间复杂度

考虑countBits, 上面的算法:

  1. 最初版本的时间复杂度是O(N*M),M取决于Number.prototype.toString和String.prototype.replace的复杂度。

  2. 第二版本的时间复杂度是O(N*logN)

  3. 最后版本的时间复杂度是O(N*M),M是N的二进制数中的“1”的个数,介于1 ~ logN之间。

上面三个版本的countBits的时间复杂度都大于O(N)。那么有没有时间复杂度O(N)的算法呢?

实际上,最后版本已经为我们提示了答案,答案就在上面的那个定律里,我把那个等式再写一遍:

countBit(n & (n - 1)) === countBit(n) - 1
也就是说,如果我们知道了countBit(n & (n - 1)),那么我们也就知道了countBit(n)!

而我们知道countBit(0)的值是 0,于是,我们可以很简单的递推:

function countBits(nums){
var ret = [0];
for(var i = 1; i
原来就这么简单,你想到了吗 ╮(╯▽╰)╭

以上就是所有的内容,简单的题目思考起来很有意思吧?程序员就应该追求完美的算法,不是吗?

转载整理自:http://web.jobbole.com

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