线性代数｜向量组的线性相关性

前置知识：

• 【定义】向量与向量组
• 线性方程组与矩阵的秩

前置定理 1　$n$ 元齐次线性方程组 $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 有非零解的充分必要条件是 $R(\mathbf{A})<n$。

证明见 “线性方程组与矩阵的秩”。

前置定理 2　$n$ 阶线性方程组 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$

(1) 无解的充分必要条件是 $R(\mathbf{A})<R(\mathbf{A},\mathbf{b})$；

(2) 有唯一解的充分必要条件是 $R(\mathbf{A})=R(\mathbf{A},\mathbf{b})=n$；

(3) 有无限多解的充分必要条件是 $R(\mathbf{A})=R(\mathbf{A},\mathbf{b})<n$。

证明见 “线性方程组与矩阵的秩”。

定义 1　给定向量组 A : a 1 , a 2 , ⋯ , a m A:\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m A:a1​,a2​,⋯,am​，如果存在不全为零的数 k 1 , k 2 , ⋯ , k m k_1,k_2,\cdots,k_m k1​,k2​,⋯,km​，使
k 1 a 1 + k 2 a 2 + ⋯ k m a m = 0 k_1 \boldsymbol{a}_1 + k_2 \boldsymbol{a}_2 + \cdots k_m \boldsymbol{a}_m = \boldsymbol{0} k1​a1​+k2​a2​+⋯km​am​=0
则称向量组 $A$ 是 线性相关 的，否则称它 线性无关。

当 $m=1$ 时，向量组只有一个向量，对于只含一个向量 $\mathbf{a}$ 的向量组，当 $\mathbf{a}=0$ 时是线性相关的，当 $\mathbf{a}\ne 0$ 时是线性无关的。

定理 1　向量组 A : a 1 , a 2 , ⋯ , a m ( m ≥ 2 ) A:\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m \ (m \ge 2) A:a1​,a2​,⋯,am​ (m≥2) 线性相关的充分必要条件是向量组 $A$ 中至少有一个向量能由其余 $m-1$ 个向量线性表示。

证明　首先证明必要性。如果向量组 $A$ 线性相关，则有不全为零的数 k 1 , k 2 , ⋯ , k m k_1,k_2,\cdots,k_m k1​,k2​,⋯,km​ 使 k 1 a 1 + k 2 a 2 + ⋯ k m a m = 0 k_1 \boldsymbol{a}_1 + k_2 \boldsymbol{a}_2 + \cdots k_m \boldsymbol{a}_m = \boldsymbol{0} k1​a1​+k2​a2​+⋯km​am​=0。因 k 1 , k 2 , ⋯ , k m k_1,k_2,\cdots,k_m k1​,k2​,⋯,km​ 不为为零，不妨设 k 1 ≠ 0 k_1 \ne 0 k1​=0，于是便有
a 1 = − 1 k 1 ( k 2 a 2 + ⋯ k m a m ) \boldsymbol{a}_1 = \frac{-1}{k_1} (k_2 \boldsymbol{a}_2 + \cdots k_m \boldsymbol{a}_m) a1​=k1​−1​(k2​a2​+⋯km​am​)
即 a 1 \boldsymbol{a}_1 a1​ 能由 a 2 , ⋯ , a m \boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m a2​,⋯,am​ 线性表示。

接着证明充分性。如果向量组 $A$ 中某个向量能由其余 $m-1$ 个向量线性表示，不妨设 a m \boldsymbol{a}_m am​ 能由 a 1 , ⋯ , a m − 1 \boldsymbol{a}_1,\cdots,\boldsymbol{a}_{m-1} a1​,⋯,am−1​ 线性表示，即有 λ 1 , ⋯ , λ m − 1 \lambda_1,\cdots,\lambda_{m-1} λ1​,⋯,λm−1​ 使 a m = λ 1 a 1 + ⋯ + λ m − 1 a m − 1 \boldsymbol{a}_m = \lambda_1 \boldsymbol{a}_1 + \cdots + \lambda_{m-1} \boldsymbol{a}_{m-1} am​=λ1​a1​+⋯+λm−1​am−1​，于是
λ 1 a 1 + ⋯ + λ m − 1 a m − 1 + ( − 1 ) a m = 0 \lambda_1 \boldsymbol{a}_1 + \cdots + \lambda_{m-1} \boldsymbol{a}_{m-1} + (-1)\boldsymbol{a}_m = 0 λ1​a1​+⋯+λm−1​am−1​+(−1)am​=0
因为 $-1\ne 0$，所以 λ 1 , ⋯ , λ m − 1 , − 1 \lambda_1,\cdots,\lambda_{m-1},-1 λ1​,⋯,λm−1​,−1 这 $m$ 个数不全为零，进而向量组 $A$ 线性相关。

定理 2　向量组 A : a 1 , a 2 , ⋯ , a m A:\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m A:a1​,a2​,⋯,am​ 线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵 A = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a m ) \boldsymbol{A} = (\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m) A=(a1​,a2​,⋯,am​) 的秩小于向量个数 $m$；向量组 $A$ 线性无关的充分必要条件是 $R(\mathbf{A})=m$。

证明　记向量组 A : a 1 , a 2 , ⋯ , a m A:\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m A:a1​,a2​,⋯,am​ 构成的矩阵为 A = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a m ) \boldsymbol{A} = (\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m) A=(a1​,a2​,⋯,am​)。

根据定义 1：向量组 A : a 1 , a 2 , ⋯ , a m A:\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m A:a1​,a2​,⋯,am​ 线性相关 $\iff$ 齐次线性方程组 x 1 a 1 + x 2 a 2 + ⋯ x m x n = 0 x_1 \boldsymbol{a}_1 + x_2 \boldsymbol{a}_2 + \cdots x_m \boldsymbol{x}_n = \boldsymbol{0} x1​a1​+x2​a2​+⋯xm​xn​=0 有非零解。

根据前置定理 1：齐次线性方程组 x 1 a 1 + x 2 a 2 + ⋯ x m x n = 0 x_1 \boldsymbol{a}_1 + x_2 \boldsymbol{a}_2 + \cdots x_m \boldsymbol{x}_n = \boldsymbol{0} x1​a1​+x2​a2​+⋯xm​xn​=0 有非零解 $\iff$ $R(\mathbf{A})<m$。

定理 3　若向量组 A : a 1 , a 2 , ⋯ , a m A:\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m A:a1​,a2​,⋯,am​ 线性相关，则向量组 B : a 1 , a 2 , ⋯ , a m , a m + 1 B:\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m,\boldsymbol{a}_{m+1} B:a1​,a2​,⋯,am​,am+1​ 也线性相关。反之，若向量组 $B$ 线性无关，则向量组 $A$ 也线性无关。

证明　记 A = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a m ) \boldsymbol{A} = (\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m) A=(a1​,a2​,⋯,am​)， B = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a m , a m + 1 ) \boldsymbol{B} = (\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m,\boldsymbol{a}_{m+1}) B=(a1​,a2​,⋯,am​,am+1​)，显然有 $R(\mathbf{B})\le R(\mathbf{A})+1$。

若向量组 $A$ 线性相关，则根据定理 2，有 $R(\mathbf{A})<m$，从而 $R(\mathbf{B})\le R(\mathbf{A})+1<m+1$；根据定理 2，向量组 $B$ 线性相关。

若向量组 $B$ 线性无关，则根据定理 2，有 $R(\mathbf{B})=m+1$，从而 $R(\mathbf{A})\ge R(\mathbf{B})-1=m$；因为 $\mathbf{A}$ 只有 $m$ 列，所以 $R(\mathbf{A})\le m$，于是 $R(\mathbf{A})=m$；根据定理 2，向量组 $A$ 线性无关。

定理 3 是对向量组增加 1 个向量而言的，增加多个向量结论也仍然成立。即设向量组 $A$ 是向量组的 $B$ 的一部分（这时称向量组 $A$ 是向量组 $B$ 的 部分组），于于是定理 3 可一般地叙述为：一个向量组若有线性相关的部分组，则该向量组线性相关。特别地，含零向量的向量组必线性相关。一个向量组若线性无关，则它的任何部分组都线性无关。

定理 4　$m$ 个 $n$ 维向量组成的向量组，当维度 $n$ 小于向量个数 $m$ 时一定线性相关。特别地 $n+1$ 个 $n$ 维向量一定线性相关。

证明　$m$ 个 $n$ 维向量 a 1 , a 2 , ⋯ , a m \boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m a1​,a2​,⋯,am​ 构成矩阵 A n × m = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a m ) \boldsymbol{A}_{n \times m} = (\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m) An×m​=(a1​,a2​,⋯,am​)，显然有 $R(\mathbf{A})\le n$。因为 $n<m$，所以 $R(\mathbf{A})\le n<m$。根据定理 2，$m$ 个向量 a 1 , a 2 , ⋯ , a m \boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m a1​,a2​,⋯,am​ 线性相关。

定理 5　设向量组 A : a 1 , a 2 , ⋯ , a m A:\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m A:a1​,a2​,⋯,am​ 线性无关，而向量组 B : a 1 , a 2 , ⋯ , a m , b B:\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m,\boldsymbol{b} B:a1​,a2​,⋯,am​,b 线性相关，则向量 $\mathbf{b}$ 必能由向量组 $A$ 线性表示，且表达式是唯一的。

证明　记 A = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a m ) \boldsymbol{A} = (\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m) A=(a1​,a2​,⋯,am​)， B = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a m , b ) \boldsymbol{B} = (\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m,\boldsymbol{b}) B=(a1​,a2​,⋯,am​,b)，显然有 $R(\mathbf{A})\le R(\mathbf{B})$。因为向量组 $A$ 线性无关，所以 $R(\mathbf{A})=m$。因为向量组 $B$ 线性相关，所以 $R(\mathbf{B})<m+1$。因为 $m=R(\mathbf{A})\le R(\mathbf{B})<m+1$，所以 $R(\mathbf{B})=m$。

根据前置定理 2 可知，因为 $R(\mathbf{A})=R(\mathbf{B})=m$，所以方程组 ( a 1 , a 2 , ⋯ , a m ) x = b (\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m) \boldsymbol{x} = \boldsymbol{b} (a1​,a2​,⋯,am​)x=b 有唯一解，从而向量 $\mathbf{b}$ 能由向量组 $A$ 线性表示，且表达式是唯一的。

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