空间质量作用模型（SMA）

SMA模型

基于以下假设：

1. 用特征电荷$\nu$描述具有多点形状的天然蛋白质的离子交换吸附；
2. 在离子交换系统中，竞争性的吸附可以用质量作用平衡来描述，在此过程中维持吸附相上的电中性；
3. 蛋白质分子的吸附导致了已被吸附的平衡盐离子的空间位阻，这些被覆盖的平衡的盐离子不能和其它蛋白质发生交换反应；
4. 伴离子的影响在离子交换过程中可以忽略。

特征电荷$\nu$的意义为，在吸附过程中一个被吸附的蛋白质与$\nu$个吸附点相互作用，取代$\nu$个单价平衡盐离子。蛋白质和平衡盐离子的化学计量关系如下：
C a + ν n Q s ‾ ⇔ Q a + ν n C s (1) C_{a}+\frac{\nu}{n}\overline{Q_s} \Leftrightarrow Q_{a}+\frac{\nu}{n}C_s \tag{1} Ca​+nν​Qs​​⇔Qa​+nν​Cs​(1)
其中 $C$ 和 $Q$ 分别表示液相和吸附相浓度，$n$ 表示盐离子的荷电荷数，下标 $a$ 和 $s$ 分别表示蛋白质和盐。上杠$-$表示可以和液相中蛋白质进行交换反应的被吸附的盐离子。对应的离子交换过程的平衡常数 K a K_a Ka​为：
K a = ( Q a C a ) ( C s Q s ‾ ) ν n (2) K_a=(\frac{Q_a}{C_a})(\frac{C_s}{\overline{Q_s}})^{\frac{\nu}{n}} \tag{2} Ka​=(Ca​Qa​​)(Qs​​Cs​​)nν​(2)
被覆盖的盐离子的总浓度 Q s ^ \hat{Q_s} Qs​^​用下式表示：
Q s ^ = σ a Q a (3) \hat{Q_s}=\sigma_aQ_a \tag{3} Qs​^​=σa​Qa​(3)
此处 σ a \sigma_a σa​为蛋白质的空间因子。吸附相中的盐离子的总浓度 Q s Q_s Qs​用下式表示：
Q s = Q s ‾ + σ a Q a (4) Q_s=\overline{Q_s}+\sigma_aQ_a \tag{4} Qs​=Qs​​+σa​Qa​(4)
由于吸附相上维持电中性，有下式成立：
A = n Q s ‾ + ( ν + n σ a ) Q a (5) A=n\overline{Q_s}+(\nu+n\sigma_a)Q_a \tag{5} A=nQs​​+(ν+nσa​)Qa​(5)
式中$A$为凝胶的离子交换容量。将$(5)$式代入$(2)$式，得到如下吸附等温线方程：
C a = ( Q a K a ) ( n C s A − ( ν + n σ a ) Q a ) ν n (6) C_a=(\frac{Q_a}{K_a})(\frac{nC_s}{A-(\nu+n\sigma_a)Q_a})^{\frac{\nu}{n}} \tag{6} Ca​=(Ka​Qa​​)(A−(ν+nσa​)Qa​nCs​​)nν​(6)
式$(6)$为三参数模型。一般采用色谱法确定SMA模型参数，也可以采用间歇吸附平衡实验数据确定SMA模型参数。离子交换介质的离子交换容量$A$由滴定法测得； C a C_a Ca​趋于零时，式$(6)$简化为：
Q a C a = K a ( A n C s ) ν n (7) \frac{Q_a}{C_a}=K_a(\frac{A}{nC_s})^{\frac{\nu}{n}} \tag{7} Ca​Qa​​=Ka​(nCs​A​)nν​(7)
利用蛋白质浓度趋于零时低盐浓度吸附等温线的斜率值，对$(7)$式两边取对数作图可得一条直线，使用该直线的截距和斜率，求得特征电荷和平衡常数； C a C_a Ca​趋于无穷大时， Q s ‾ \overline{Q_s} Qs​​近似为零，有下式成立：
Q a m a x = A ν + n σ a (8) Q_{a}^{max}=\frac{A}{\nu+n\sigma_a} \tag{8} Qamax​=ν+nσa​A​(8)
式中 Q a m a x Q_a^{max} Qamax​为最大吸附密度，由该式可确定空间因子。

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