MATLAB 蒙特卡洛方法求解非线性整数规划问题

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本文目录

• • 非线性整数规划问题
  • 蒙特卡洛方法

非线性整数规划问题

非线性整数规划问题是指目标函数和约束条件都可能是非线性的，且变量为整数的优化问题。

在 MATLAB 中，没有专门的函数来求解非线性整数规划问题，但是可以通过蒙特卡洛方法来求得近似解。

蒙特卡洛方法

蒙特卡洛方法是一种用随机数来解决问题的方法，它的基本思想是：通过随机的方法来模拟问题的解，从而得到问题的近似解。

例
求解下列非线性整数规划问题：

max ⁡ Z = x 1 2 + x 2 2 + 3 x 3 2 + 4 x 4 2 + 2 x 5 2 − 8 x 1 − 2 x 2 − 3 x 3 − x 4 − 2 x 5 \begin{equation} \max \quad Z=x_{1}^2 + x_{2}^2 + 3x_{3}^2 + 4x_{4}^2 + 2x_{5}^2 - 8x_{1} - 2x_{2} - 3x_{3} - x_{4} - 2x_{5} \end{equation} maxZ=x12​+x22​+3x32​+4x42​+2x52​−8x1​−2x2​−3x3​−x4​−2x5​​​
s.t.  { x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ≤ 400 x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 + x 4 + 6 x 5 ≤ 800 2 x 1 + x 2 + 6 x 3 ≤ 200 x 3 + x 4 + 5 x 5 ≤ 200 0 ≤ x i ≤ 99 , i = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 x i ∈ Z , i = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 \begin{equation} \text { s.t. } \left\{ \begin{array}{c} x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5} \leq 400 \\ x_{1} + 2x_{2} + 2x_{3} + x_{4} + 6x_{5} \leq 800 \\ 2x_{1} + x_{2} + 6x_{3} \leq 200 \\ x_{3} + x_{4} + 5x_{5} \leq 200 \\ 0 \leq x_{i} \leq 99, \quad i=1,2,3,4,5 \\ x_{i} \in \mathbb{Z}, \quad i=1,2,3,4,5 \end{array} \right. \end{equation}  s.t. ⎩ ⎨ ⎧​x1​+x2​+x3​+x4​+x5​≤400x1​+2x2​+2x3​+x4​+6x5​≤8002x1​+x2​+6x3​≤200x3​+x4​+5x5​≤2000≤xi​≤99,i=1,2,3,4,5xi​∈Z,i=1,2,3,4,5​​​

解

首先，我们需要定义目标函数和约束条件函数：

% 目标函数
function [z] = objfun(x)z = x(1)^2 + x(2)^2 + 3*x(3)^2 + 4*x(4)^2 + 2*x(5)^2 - 8*x(1) - 2*x(2) - 3*x(3) - x(4) - 2*x(5);
end

% 约束条件函数
function [flag] = confun(x)c = [x(1) + x(2) + x(3) + x(4) + x(5) - 400;x(1) + 2*x(2) + 2*x(3) + x(4) + 6*x(5) - 800;2*x(1) + x(2) + 6*x(3) - 200;x(3) + x(4) + 5*x(5) - 200];if all(c <= 0)flag = 1;elseflag = 0;end
end

然后就可以开始蒙特卡洛模拟了：

% 蒙特卡洛模拟
n = 1000; % 模拟次数
lb = zeros(1, 5); % 变量下界
ub = 99*ones(1, 5); % 变量上界
sol = []; % 保存满足约束条件的解
fval = -inf; % 保存最大值
for i = 1:nx = floor(lb + (ub - lb + 1).*rand(1, 5)); % 生成随机解if confun(x) == 1 % 判断是否满足约束条件z = objfun(x); % 计算目标函数值if z > fval % 更新最大值fval = z;sol = x;endend
end

模拟次数越多，得到的解就越接近最优解，但是计算时间也会越长。

当模拟次数为 1,000 时，得到的近似解为：

>> sol
sol =5    45    17    91     9>> fval
fval =35913

当模拟次数为 100,000 时，得到的近似解为：

>> sol
sol =23    91     5    99    11>> fval
fval =47829

当模拟次数为 10,000,000 时，得到的近似解为：

>> sol
sol =47    98     1    99    16>> fval
fval =50826

可以看到，当模拟次数越多时，得到的近似解越接近最优解。

本题若使用显式枚举法，需要枚举 10 0 5 = 1 0 10 100^5 = 10^{10} 1005=1010 种解，而蒙特卡洛模拟只需要模拟 1 0 7 10^7 107 次，便可以得到一个精度较高的近似解。

在精度要求不那么严格的情况下，蒙特卡洛模拟是一种非常有效的方法。

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