【笔记整理】信号与系统复习——频谱和功率谱

频谱和功率谱

频谱

• 定义：频谱是信号在各频率分量上的幅度或相位
• 物理意义：反映的是在各个频率分量上的信号幅度或相位在频域分布的情况

功率谱

• 定义：功率谱是信号在各频率分量上的功率
• 物理意义：反映的是在各个频率分量上的信号功率在频域分布的情况

以下讨论几个问题：

为什么要进行频谱分析 or 频谱分析有什么意义？

$t\to \Omega$

• 将信号的时间变量转换为频率变量
• 揭示信号的频率特性
• 揭示新的的时域特性和频域特性之间的内在关系

频谱分析要满足什么条件？

• 分析的信号要是确知过程，不能是随机过程（原因后面会提到）
• 需要满足狄利赫里条件
  即，在一个周期内：
  • 若存在间断点，间断点的个数应为有限个。
  • 极大值和极小值的个数应为有限个
  • 满足能量信号条件，即
    • 对于离散信号，绝对可和
    • 对于模拟信号，绝对可积

随机过程为什么通过功率谱来分析，而不能通过频谱进行分析？

• 频谱是分析确知过程的，并且需要满足狄利赫里条件（具体条件上面有提到）
• 随机过程是若干个样本函数的集合，一个样本函数可以进行频谱分析，但是它的频谱并不能用来描述整个随机过程

如何得到一个信号的频谱？

• 对于非周期信号，通过傅里叶变换，可以得到信号的频谱
• 对于周期信号，通过傅里叶级数的系数，可以得到信号的频谱
• 周期信号的频谱，引入广义函数后，也就是通过序列冲激函数，可以求得傅里叶变换，得到的傅里叶变换是冲激形式的

此处注意一下傅里叶级数和傅里叶级数的系数的区别！

• 傅里叶级数：傅里叶级数是时域的表示
  x ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ X n e − j n Ω 0 t x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}X_ne^{-jn\Omega_0t} x(t)=n=−∞∑∞​Xn​e−jnΩ0​t
• 傅里叶级数系数：傅里叶级数的系数是频域的表示
  X n = 1 T

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