破解已知函数单调性求参数范围的几个难点

前言

自从高中数学中引入了导数之后，能求解单调性问题的函数的类型和范围大大拓展了，但是随之也带来了许多困惑，本博文希望和各位一起作以探讨。

必备知识

• 导数的相关知识，导数与函数的单调性；

• 恒成立命题和能成立命题；

• 分离参数法；

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• 很容易让我们产生疑惑的地方，导数法求参数取值范围时需要注意问题

廓清认知

• 容易混淆的两个题型：

Ⅰ、已知函数的单调性，求参数的取值范围；

Ⅱ、已知函数存在单调区间，求参数的取值范围；

• 容易出错的地方：

题型Ⅰ中，比如已知函数\(f(x)\)在区间\((a，b)\)内单调递增，正确的转化思路应该是，则\(f'(x)\geqslant 0\)在区间\((a，b)\)内恒成立且\(f'(x)=0\)在区间\((a，b)\)内不恒成立(即需要保证\(f(x)\)不是常函数，否则不符合题意，因为常函数没有单调性)，故求得参数的取值范围后，还需要对端点值作以验证，否则会产生错误的多余的解；而学生则容易错误转化为\(f'(x)>0\)在区间\((a，b)\)内恒成立，这样必然不包含区间的端点值，这样又会产生漏解；

题型Ⅱ中，比如已知函数\(f(x)\)存在单调递增区间\((a，b)\)，正确的转化思路应该是，则\(f'(x)>0\)在区间\((a，b)\)有解或者能成立；而学生则容易错误转化为\(f'(x)\ge 0\)在区间\((a，b)\)内能成立或有解，这样必然会产生错误的多余的解；

典例剖析

题型Ⅰ已知函数\(y=f(x)\)的单调性，求参数的取值范围

• 类型1：参数包含在函数的系数中

思路方法：若函数\(y=f(x)\)在区间\([a，b]\)单调递增，则\(f'(x)\ge 0\)在区间\([a，b]\)上恒成立，且导函数\(f'(x)\)不恒为\(0\)；若函数\(y=f(x)\)在区间\([a，b]\)单调递减，则\(f'(x) \leq 0\)在区间\([a，b]\)上恒成立，且导函数\(f'(x)\)不恒为\(0\)；
易错警示：漏掉等号，忘掉验证；

例1【2019高三理科数学资料用题】设函数\(f(x)=(x+a)e^{ax}(a\in R)\)，若函数在区间\((-4，4)\)内单调递增，求\(a\)的取值范围。

【解答】由函数\(f(x)\)在在区间\((-4，4)\)内单调递增，则\(f'(x)\ge 0\)在区间\((-4，4)\)内恒成立，

又\(f'(x)=(ax+a^2+1)e^{ax}\)，注意到\(e^{ax}>0\)恒成立，即有\(ax+a^2+1\ge 0\)在区间\((-4，4)\)内恒成立，

令\(g(x)=ax+a^2+1\)为一次型的函数，故只需要满足\(\left\{\begin{array}{l}{g(-4)\ge 0}\\{g(4)\ge 0}\end{array}\right.\)，

即\(\left\{\begin{array}{l}{a^2-4a+1\ge 0}\\{a^2+4a+1\ge 0}\end{array}\right.\)，

解得，\(\left\{\begin{array}{l}{a\ge 2+\sqrt{3}或a\leq 2-\sqrt{3}}\\{a\leq -2-\sqrt{3}或a\ge -2+\sqrt{3}}\end{array}\right.\)，

即\(a\in (-\infty，-2-\sqrt{3}]\cup[-2+\sqrt{3}，2-\sqrt{3}]\cup[2+\sqrt{3}，+\infty)\)。

• 类型2：参数包含在给定区间端点处

思路方法：集合法，由于函数中不含有参数，故用常规方法能很快求出单调区间，那么给定区间必然是求出的单调区间的子区间，转化为集合的关系求解；导数法，转化为导函数不等式恒成立问题求解。

例2已知函数\(f(x)=x^3+\cfrac{3}{2}x^2-6x+1\)在区间\([a，a+1]\)上单调递减，求参数\(a\)的取值范围。¹

分析：集合法，先用导数的方法求得函数\(f(x)\)的单调递减区间，\(f'(x)=3x^2+3x-6=3(x+2)(x-1)\)，

令\(f'(x)<0\)，解得\(x\in (-2，1)\)，即其单调递减区间为\([-2，1]\)，此处必须写成闭区间，否则会丢掉参数的个别取值。

而题设又已知函数在\([a，a+1]\)上单调递减，故\([a，a+1]\subseteq [-2，1]\)，即问题转化为集合的包含关系问题了。

此时只需要满足\(\left\{\begin{array}{l}{-2\leqslant a}\\{a+1\leqslant 1}\end{array}\right.\)，解得\(-2\leqslant a\leqslant 0\)，

故参数\(a\)的取值范围为\([-2，0]\)。

导数法，由题设可知，\(f'(x)=3x^2+3x-6=3(x+2)(x-1)\)，由于函数在区间\([a，a+1]\)上单调递减，

则\(f'(x)=3(x+2)(x-1)\leq 0\)在区间\([a，a+1]\)上恒成立，则\(\left\{\begin{array}{l}{f'(a)\leqslant 0}\\{f'(a+1)\leqslant 0}\end{array}\right.\)

即\(\left\{\begin{array}{l}{3(a+2)(a-1)\leqslant 0}\\{3(a+3)a\leqslant 0}\end{array}\right.\)，解得\(\left\{\begin{array}{l}{-2\leqslant a\leqslant 1}\\{-3\leqslant a\leqslant 0}\end{array}\right.\)，则\(a\in [-2，0]\)。

题型Ⅱ函数\(y=f(x)\)存在单调区间，求参数的取值范围

• 类型1：参数包含在函数的系数中

直接法：函数\(y=f(x)\)在区间\([a，b]\)上存在单调递增区间，则\(f'(x)>0\)在区间\([a，b]\)上能成立(或有解)；
函数\(y=f(x)\)在区间\([a，b]\)上存在单调递减区间，则\(f'(x)<0\)在区间\([a，b]\)上能成立(或有解)；易错警示：多添加了等号；

间接法：不存在单调递增区间，则函数为常函数或单调递减，则恒有\(f'(x)=0\)或\(f'(x)\leq 0\)在区间\([a，b]\)上恒成立；不存在单调递减区间，则函数为常函数或单调递增，则恒有\(f'(x)=0\)或\(f'(x)\ge 0\)在区间\([a，b]\)上恒成立；

交集法：若能容易求得给定函数的单调区间，则求得的该区间和已知的单调区间求交集，即可求得参数的取值范围。

例1【2019高三理科数学资料用题】【2018荆州模拟改编】设函数\(f(x)=\cfrac{1}{3}x^3-\cfrac{a}{2}x^2+1\)，函数\(g(x)=f(x)+2x\)，且\(g(x)\)在区间\((-2，-1)\)内存在单调递减区间，求实数\(a\)的取值范围；

【法1，直接法】：\(g(x)=\cfrac{1}{3}x^3-\cfrac{a}{2}x^2+1+2x\)，则\(g'(x)=x^2-ax+2\)，

由\(g(x)\)在区间\((-2，-1)\)内存在单调递减区间，得到，

\(g'(x)=x^2-ax+2<0\)在区间\((-2，-1)\)上能成立，

分离参数得到，\(a < x+\cfrac{2}{x}\)在区间\((-2，-1)\)上能成立，

而\(\left(x+\cfrac{2}{x}\right)_{max}=-2\sqrt{2}\)，当且仅当\(x=\cfrac{2}{x}\)，即\(x=-\sqrt{2}\)时取到等号，

故实数\(a\)的取值范围为\((-\infty，-2\sqrt{2})\)。

注意：若函数\(f(x)\)在区间\((a，b)\)存在单调递减区间，应该得到\(f'(x)<0\)在区间\((a，b)\)有解或能成立，而不是\(f'(x)\leq 0\)在区间\((a，b)\)有解或能成立。

学生认为：函数\(f(x)\)在区间\((a，b)\)存在单调递减区间，应该得到\(f'(x)\leq 0\)在区间\((a，b)\)有解或能成立，这种认识是错误的，这样解释一下啊，

\(f'(x)\leqslant 0\)在区间\((a，b)\)上有解，对应情形一：\(f'(x)<0\)在区间\((a，b)\)上有解；或情形二：\(f'(x)=0\)在区间\((a，b)\)上有解；这两个情形只要有一个满足即可，其中情形一求解结果是区间，而情形二求解结果不是区间，故不符合题意，自然就舍去了。

[反例说明]若\(a=-2\sqrt{2}\)，由\(g'(x)=x^2+2\sqrt{2}x+2=(x+\sqrt{2})^2\ge 0\)恒成立，则函数\(g(x)\)只能有单调递增区间，不会存在单调递减区间。

反例已知\(f(x)=4x^2-kx-8\)在\([5，20]\)上存在单调递增区间，求参数\(k\)的取值范围；

【交集法，正解】函数\(f(x)\)的单调递增区间为\([\cfrac{k}{8}，+\infty)\)，由题设可知

区间\([\cfrac{k}{8}，+\infty)\)和区间\([5，20]\)的交集区间必然不会为空集，否则函数就是空函数了，

则\(\cfrac{k}{8}<20\)，解得\(k<160\)；即\(k\in(-\infty，160)\)；

【导数法，正解】\(f'(x)=8x-k>0\)在区间\([5，20]\)上有解；分离参数得到，\(k<8x\)在区间\([5，20]\)上有解；

即\(k<(8x)_{max}=160\)，即\(k\in(-\infty，160)\)；

【导数法，错解】\(f'(x)=8x-k\geqslant 0\)在区间\([5，20]\)上有解；分离参数得到，\(k\leqslant 8x\)在区间\([5，20]\)上有解；

即\(k\leqslant (8x)_{max}=160\)，即\(k\in(-\infty，160]\)；但若\(k=160\)时，单调区间为\([20，+\infty)\)，故在\([5，20]\)上没有增区间，故错误；

【法2，间接法】假设函数\(g(x)\)在区间\((-2，-1)\)内不存在单调递减区间，

则函数\(g(x)\)在区间\((-2，-1)\)内为常函数或单调递增，

则恒有\(g'(x)=0\)或\(g'(x)\ge 0\)在区间\((-2，-1)\)内恒成立，

由于\(g'(x)=x^2-ax+2\)，显然恒有\(g'(x)=0\)不成立，

故重点探究\(g'(x)\ge 0\)在区间\((-2，-1)\)内恒成立，

\(g'(x)=x^2-ax+2\ge 0\)在区间\((-2，-1)\)内恒成立，分离参数，

得到\(a\ge x+\cfrac{2}{x}(-2< x <-1)\)在区间\((-2，-1)\)内恒成立，

由于\(h(x)=x+\cfrac{2}{x}\)在\((-2，-\sqrt{2}]\)上单调递增，在\([-\sqrt{2}，-1)\)上单调递减，

故\(h(x)_{max}=h(-\sqrt{2})=-2\sqrt{2}\)，

故函数\(g(x)\)在区间\((-2，-1)\)内不存在单调递减区间时，\(a\ge -2\sqrt{2}\)；

即存在单调递减区间时，\(a< -2\sqrt{2}\)，即\(a\in (-\infty，-2\sqrt{2})\)。

• 类型2：参数包含在给定区间端点处

思路方法：用常规方法求出单调区间，转化为集合之间的包含关系求解；

例2[自编]已知函数\(f(x)=x^3-3x+1\)存在单调递减区间\((a，a+1)\)，求参数\(a\)的取值范围；

分析：由\(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\)，则可知函数\(f(x)\)的单调递减区间为\([-1，1]\)，

又由题设可知，函数\(f(x)=x^3-3x+1\)存在单调递减区间\((a，a+1)\)，

则\(f'(x)=3x^2-3<0\)在区间\((a，a+1)\)上恒成立，注意：此处不是能成立；

即有\((a，a+1)\subseteq [-1，1]\)，即满足\(\left\{\begin{array}{l}{a

解得，\(-1\leqslant a\leqslant 0\)，即\(a\in [-1，0]\)。

解后反思：①这类题目应该转化为恒成立而不是能成立类型，否则就不能保证存在这样的单调区间\((a，a+1)\)；

②此类题目在命制时要注意，给定的单调区间\(A\)和求解得到的单调区间\(B\)的关系，\(A\subseteq B\)，否则解集为空集。比如将题目中的单调区间\((a，a+1)\)更改为单调区间\((a-2，2a+1)\)，则解集\(a\in \varnothing\)；

变式训练

练1函数\(f(x)=x^2-e^x-ax\)在\(R\)上存在单调递增区间，求参数\(a\)的取值范围；

提示：导数法，\(f'(x)>0\)有解，分离参数，再转化为求新函数的最值问题即可，结果：\(a\in (-\infty，2ln2-2)\)；

1. 集合的关系习题↩

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